方べきの定理の基本パターンを覚えよう
方べきの定理の基本パターン
方べきの定理の基本パターンは次の２つです。
どちらでも「 a×b=c×ｄ」が成立します
これも「 a×b=c×ｄ」が成立します
方べきの定理の応用パターン
応用パターンは以下の図のように、１つの直線が円の接線になっている時です。このような場合、cとdが同じ長さになります。しかし、公式は成り立つことを覚えておきましょう。
これも「 a×b=c×ｄ」が成立します
方べきの定理の証明
方べきの定理がなぜ成り立つのかを覚えておくと、公式を忘れてもすすぐに自分で作ることができます。簡単に覚えておくのがおすすめです。
数学が苦手な人はまずはここから先は見ずに、問題を解けるようにしましょう！問題が解くこと優先で大丈夫です
方べきの定理の証明1
以下の図のように補助線を引いてみましょう。2つの三角形を作ることができます。
そして、円周角の定理より、以下の図のように角度が等しいことがわかりますね。
ここで２つの角度が等しいので、2つの三角形は相似になりますね！なので、a：c＝d：bになります。これを変形して、「 a×b=c×ｄ」が成立します。
方べきの定理の証明2
もう１つのパターンも同様です。以下の図のように補助線を引いてみましょう。2つの三角形を作ることができます。赤の三角形と青の三角形ですね。
ここでも円周角の定理から、●同士の角度は同じですね。
ここで、赤と青の三角形は、１つの角度は共通。そして、もう１つの角度は円周角で等しいので、相似ということになります。よって、後は先ほどと同様に、比の式を立てます
a：c＝d：bを変形して、「 a×b=c×ｄ」が成立します。
方べきの定理の証明3
応用パターンも同様です。以下の図のように補助線を引いてみましょう。2つの三角形を作ることができます。
そして、ここで、接弦定理から●同士の角度は同じになります。
ここで、赤と青の三角形は、１つの角度は共通。そして、もう１つの角度は円周角で等しいので、相似ということになります。よって、後は先ほどと同様に、比の式を立てます
a：c＝d：bを変形して、「 a×b=c×ｄ」が成立します。