RYOHTAベクトルの内分点の問題を作ってみました。簡単な問題から応用問題までありますので、ぜひ解いてみてください。
ベクトルの内分点の公式の確認
内分点を使ったよくある問題は次の通りです。以下の図で、$\overrightarrow{OM}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を使って表すような問題ですね。AM：MB＝2：1 になっています。
この場合、先に答えを言うと、
$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}$
になります。
RYOHTA「3」という数字は、比の合計。それが分母に来て、$\overrightarrow{a}$ではB側にある比の「1」。$\overrightarrow{b}$ではA側にある比の「2」が分子にきます。
ベクトルの内分点を使った基本問題
習うより慣れろ、ということで、演習問題を解いていきましょう。
(1)下の図で $\overrightarrow{OM}$ を求めましょう。ただしAM：BM= 2：5です。
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答え：$\overrightarrow{OM}=\dfrac{5}{7}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{7}\overrightarrow{b}$
(2)下の図で $\overrightarrow{OM}$ を求めましょう。ただしAM：BM= 5：1です。
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答え：$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{a}+\dfrac{5}{6}\overrightarrow{b}$
ベクトルの内分点を使った応用問題
RYOHTAここからは少しだけ応用問題を実施しましょう。自分で図を書けるようにしておくといいですね
(1)下の図で $\overrightarrow{OM}$ を求めましょう。ただしAM：BM= 2：3です。
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答え：$\begin{split}\overrightarrow{OM}&=\dfrac{3}{5}\cdot 2\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{5}\cdot 3\overrightarrow{b}\\ &=\dfrac{6}{5}\overrightarrow{a}+\dfrac{6}{5}\overrightarrow{b}\end{split}$
(2)下の図で $\overrightarrow{AM}$ を求めましょう。ただしAM：BM= 2：1です。
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答え：$\begin{split}\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA}\\ &=\dfrac{1}{3}\cdot 3\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\cdot 5\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}\\ &=-2\overrightarrow{a}+\dfrac{10}{3}\overrightarrow{b}\end{split}$
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答え：$\begin{split}\overrightarrow{AM}&=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\\ &=\dfrac{2}{3}\left( 5\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{a}\right) \\ &=\dfrac{10}{3}\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}\end{split}$
RYOHTA答えのやり方でも別解のやり方でもどちらでも大丈夫です。まずは解ければOK
