ベクトルの内分点の公式の確認
内分点をの公式は次の通り 。$\overrightarrow{a}$にはnが掛け算され、$\overrightarrow{b}$にはmが掛け算されます。
$\begin{split}\overrightarrow{OM}&=\dfrac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\\ &\left( =\dfrac{n}{m+n}\overrightarrow{a}+\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{b}\right) \end{split}$
まずは数字を使って考えよう
内分点を使ったよくある問題は次の通りです。以下の図で、$\overrightarrow{OM}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を使って表すような問題ですね。AM：MB＝2：1 になっています。
この時、$\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}$
になります。これがベクトルの内分点を使った公式ですね。
公式を使わずにOMベクトルを求めよう
先ほどは公式を使って$\overrightarrow{OM}$を求めました。では、次は公式を使わずに$\overrightarrow{OM}$を求めましょう。内分すると考えずに、単純に$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{AM}$を足し算します。
$\begin{aligned}\overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}\\ &=\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\\ &=\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right) \\ &=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}\end{aligned}$
これで公式を使わずに$\overrightarrow{OM}$を求められました。
ベクトルの内分点の公式とその証明
では次は文字を使って一般化して同じように$\overrightarrow{OM}$を求めてみましょう。図では、AM：MBの比は m：nになっています。
先ほどと同じように、内分すると考えずに、単純に$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{AM}$を足し算します。
$\begin{aligned}\overrightarrow{OM}&=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}\\ &=\overrightarrow{OA}+\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}\\ &=\overrightarrow{a}+\dfrac{m}{m+n}\left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right) \\ &=\left( 1-\dfrac{m}{m+n}\right) \overrightarrow{a}+\dfrac{m}{m+n}\overrightarrow{b}\\ &=\dfrac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\end{aligned}$
これで公式を使わずに$\overrightarrow{OM}$を求められました。