最短距離を求める問題の基本
平面上で最短距離を求める問題の基本
最短距離を求める問題の基本は「最短距離＝直線」ということですね。例えば次の図を見てください。
当たり前ですが、赤線がAとBをつなぐ、最短距離で、決して、青線のような曲がった線にはなりません。これが基本ですね。
立体上で最短距離を求める問題の基本
では立体の場合はどうなるでしょうか。立体の場合もまったく同じで、「展開図上で直線を引いて考える」ということが基本です。
例えば以下の円錐で、底面を通らずにAからBまでの最短距離を求める場合、以下の図のように展開図を書くと、赤色の直線が最短距離になりますね。
平面上で最短距離を求める問題
では実際に問題を解いていきましょう。
(1) PX＋XQが最小となる時のXの位置を作図しなさい。ただしPとQは固定されており、Xは直線上を自由に動くことができる。
(2) PQ＋QR＋RSが最小となる時、QとRの位置を作図しなさい。ただし、四角形は長方形で、PとSは固定されており、QとRは線分上を自由に動くことができる。
長さを求めたい場合は、三平方の定理で、PS”の長さを求めれば赤色の長さがわかりますね。
立体上で最短距離を求める問題
立体での点と点の距離を求める問題は展開図を考えます。ほとんど平面と考え方は同じです。実際に問題を解いていきましょう。
円柱の最短距離を求める問題
(1) 円柱があり、上面にある点Bとその真下にある点Aを考える。AからBを紐で結び、最短距離で結んだ時、紐の長さはいくらになるか。ただし、AからBへは側面を１周回るものとする。
$\begin{aligned}AB&=\sqrt{5^{2}+\left( 4\pi \right) ^{2}}\\ &=\sqrt{25+16\pi ^{2}}\end{aligned}$
三角錐の最短距離を求める問題
(2) 三角錐があり、下面にある点Aとその向かいにある点Bを考える。AからBを紐で結び、最短距離で結んだ時、紐の長さはいくらになるか。ただし、AからBへは側面を通るものとする。
$2\times 2\times \pi =6\times 2\times \pi \times \dfrac{\theta }{360°}$
これを解いて、θ=120°
よって、角AOB=60°となり、三角形AOBは正三角形となります。よってAB=6となります。
立方体の最短距離を求める問題
(3) 一辺 6 の 立方体があり、頂点にある点Aと、辺の中心にある点Bを考える。AからBを紐で結び、最短距離で結んだ時、紐の長さはいくらになるか。ただし、AからBへは側面を通るものとする。
$\begin{aligned}AB&=\sqrt{3^{2}+12^{2}}\\ &=3\sqrt{17}\end{aligned}$
正四面体の最短距離を求める問題
(4) 一辺 3 の 正四面体があり、辺の上に点Aと点Bがある。AからBを紐で結び（ただし、OD直線OD上を通るものとする）、最短距離で結んだ時、紐の長さはいくらになるか。
$\begin{aligned}AB^{2}&=OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cdot \cos 120\\ &=2^{2}+1^{2}-2\cdot 2\cdot 1\cdot \left( -\dfrac{1}{2}\right) \\ &=7\end{aligned}$
よって$AB=\sqrt{7}$