今回はこのような疑問にお答えします。
分数の掛け算と割り算は同じ
まず前提ですが、「掛け算」と「割り算」は実は同じものです！
そして、「割り算」は今後使う機会は少なくなり、「掛け算」として処理をするようになります。
割り算は分母分子を逆転して「掛け算」にする
例えば、次の割り算は、上下逆転して、掛け算で処理します。
$\dfrac{1}{3}\div \dfrac{5}{12}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{12}{5}$
割る対象が整数なら分母を1と考える
これは分数でなくても同じことです。整数は分母を1と考えます。
$\dfrac{1}{5}\div 10=\dfrac{1}{5}\times \dfrac{1}{10}$
マイナスがあれば、その部分は変えない
また、マイナスがついていても同じです。前の「マイナス」はそのままにして分母と分子は逆転します。
$\dfrac{7}{8}\div \left( -\dfrac{3}{4}\right) =\dfrac{7}{8}\times \left( -\dfrac{4}{3}\right)$
分数の掛け算のやり方
では全て「掛け算」にした後の計算方法についてです。次の4つの流れで計算します。
パーツ部分を把握
例えば次の式があったとします。「掛け算、割り算」部分は、「足し算、引き算」部分よりも先に計算をするので、2つのパーツでできていると考えます。
$\dfrac{2}{7}\times \dfrac{1}{4}+\left( -\dfrac{1}{5}\right) \div \left( -\dfrac{11}{10}\right)$
そして、割り算は分母と分子を逆にして、掛け算にしましょう。
$\dfrac{2}{7}\times \dfrac{1}{4}+\left( -\dfrac{1}{5}\right) \times \left( -\dfrac{10}{11}\right)$
プラスマイナスをまとめる
続いて、「かっこ」を外して、マイナスをまとめます。後半のパーツでは、マイナスが２つあるので、このパーツの符号は「マイナス」になりますね。
$\dfrac{2}{7}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\times \dfrac{10}{11}$
これで「かっこ」を外すことができました。
「掛け算部分があれば」約分して計算する
ではいよいよ計算です。「掛け算」は「足し算」より先に計算するルールがあるので、掛け算部分をそれぞれ計算します。
足し算や引き算を行う
最後に足し算や引き算の部分があれば、そこを計算して終了です。
$\dfrac{1}{14}+\dfrac{2}{11}=\dfrac{11+28}{154}=\dfrac{39}{154}$
分数の掛け算、割り算の基本問題
では実際にいろいろな問題を解いて計算に慣れていきましょう。
(1) $\left( -\dfrac{9}{5}\right) \times \dfrac{5}{2}$
(2) $\dfrac{12}{5}\times \left( -\dfrac{5}{4}\right)$
(3) $\left( -\dfrac{2}{3}\right) \div \left( -9\right)$
(4) $\dfrac{1}{8}\times \left( -\dfrac{9}{2}\right) \times \left( -\dfrac{2}{5}\right)$
(5) $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{7}{3}\div \dfrac{14}{5}\times \dfrac{9}{10}$
(6) $\left( -\dfrac{3}{5}\right) \times \dfrac{10}{9}-\left( -\dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{15}{8}$
分数の掛け算、割り算の練習問題
続いて練習問題をやっていきましょう。練習問題では、「足す」や「引く」も混じっていますが、それらは最後に計算します。
(1) $\dfrac{15}{4}\times \left( -\dfrac{8}{9}\right) +\left( -2\right) \times \left( -\dfrac{5}{2}\right)$
(2) $-\dfrac{5}{12}\times \left( -\dfrac{9}{10}\right) -\dfrac{5}{3}\times \left( -\dfrac{3}{8}\right)$
(3) $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{5}{6}$
(4) $\left( -\dfrac{3}{5}\right) \times \dfrac{10}{9}-\left( -\dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{15}{8}$
分数の掛け算、割り算の応用問題
「かっこ」は分配法則で外す
最後に「かっこ」の中にプラスやマイナスがある計算問題をしてみましょう。「かっこ」の中にプラスやマイナスがある場合、分配法則を使う場合が多いです（かっこの中を先に計算した方がよいこともあります）。
例を見てみましょう
$\begin{aligned}& \left( -\dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}\right) \times \dfrac{4}{9}\\ &= -\dfrac{3}{2}\times \dfrac{4}{9}+\dfrac{9}{4}\times \dfrac{4}{9}\\ &= -\dfrac{2}{3}+1\\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned}$
応用問題
では応用問題で演習をしてみましょう。
(1) $\left( \dfrac{1}{12}-\dfrac{21}{8}\right) \times \dfrac{48}{7}$
(2) $\dfrac{3}{2}\times \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\right) -\left( -\dfrac{3}{4}\right)$