《わかりやすい》円周角の定理とは。その証明方法を簡単解説

覚えよう

円周角の定理の基本パターン

円周角の定理の基本は下の２つのパターンです。

円周角の定理のバリエーション

覚えておきたい公式は上の２つだけ。下にお見せするのは円周角の定理のバリエーションです。

一見すると新しい公式のように見えますが、左は中心角が180°の時、右は中心核が180°以上になった時ですね。このような場合も円周角は中心角の2倍になります。見落としがちなパターンですが覚えておきましょう。

円周角の定理の証明

ではそれらの円周角の定理の証明です。

円周角の定理の証明1

以下の図で、中心の角度が円周の角度の2倍であることを証明します。

まずは先の点と中心を結びます。そうすると、３つ円の半径があるので、2つの二等辺三角形ができますね。

ここで三角形の外角の角度は内角の和に等しいので、●と●の角度は以下のように移すことができます。

よって、中心角は円周角の2倍であることが証明できました。

他のバリエーション

これは先ほどお伝えした他の円周角の定理の他のバリエーションでも同様です。2つの二等辺三角形を作って、中心角は円周角の2倍になりますね。

円周角の定理の証明2

では円周角が等しいことの証明はどのようにすればいいでしょうか。以下の青の角度がそれぞれ等しいことを証明します。

とは言っても、サクッと証明するなら、「どの角度も同じ弧に対する円周角なので、中心角は等しい。よって円周角同士は等しい」と書いてあげるといいですね。

少し納得がいかないという人は、先ほどの「円周角の定理の証明1」を１つ書いてあげて、「どの円周角でも同様の証明で円周角は中心角の半分になる。よって、青色の角度は全て同じになる」と書いてあげるのがいいですね。