RYOHTA置き換えを利用した展開の方法をマスターしていきましょう。普通の展開をマスターしていればそれほど難しくありません。
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置き換えを利用した展開の方法
置き換えを利用した展開1
例えば次の式を展開する場合を考えましょう。
$\left( x+y+5\right) \left( x+y-5\right)$
この場合、式の中に共通する $x+y$ という部分を $X$ とします（他の文字でもOK）。そして、式を展開して、最後に $X$ を$x+y$ に置き換えてあげれば展開は終了です。
$\begin{aligned}&~~~~~\left ( x+y+5\right) \left( x+y-5\right) \\ &=\left( X+5\right) \left( X-5\right) \\ &=X^{2}-25\\ &=\left( x+y\right) ^{2}-25\\ &=x^{2}+2xy+y^{2}-25\end{aligned}$
置き換えを利用した展開2
同じように3つの項の二乗の展開を考えてみましょう。
$\left( x+y+1\right) ^{2}$
この場合、式の中の2つの文字の足し算（この場合はどの2つの組み合わせでもOK）を $X$ とします。そして、式を展開して、最後に $X$ を$x+y$ に置き換えてあげれば展開は終了です。
$\begin{aligned}&~~~~~\left( x+y+1\right) ^{2}\\ &=\left( X+1\right) ^{2}\\ &=X^{2}+2X+1\\ &=\left( x+y\right) ^{2}+2\left( x+y\right) +1\\ &=x^{2}+2xy+y^{2}+2x+2y+1\end{aligned}$
置き換えを利用した展開の基本問題
(1) $\left( x+y+3\right) \left( x+y-3\right)$
(2) $\left( a-b-1\right) \left( a-b+1\right)$
(3) $\left( x+2+y\right) \left( x+2-y\right)$
(4) $\left( a+b-4\right) \left( a-b-4\right)$
答えを見る
$\begin{aligned}&\left( 1\right) \left( x+y+3\right) \left( x+y-3\right) \\ &=\left( X+3\right) \left( X-3\right) \\ &=X^{2}-9\\ &=\left( x+y\right) ^{2}-9\\ &=x^{2}+2xy+y^{2}-9\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\left( 2\right) \left( a-b-1\right) \left( a-b+1\right) \\ &=\left( X-1\right) \left( X+1\right) \\ &=X^{2}-1\\ &=\left( a-b\right) ^{2}-1\\ &=a^{2}-2ab+b^{2}-1\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\left( 3\right) \left( x+2+y\right) \left( x+2-y\right) \\ &=\left( X+y\right) \left( X-y\right) \\ &=X^{2}-y^{2}\\ &=\left( x+2\right) ^{2}-y^{2}\\ &=x^{2}+4x-y^{2}+4\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\left( 4\right) \left( a+b-4\right) \left( a-b-4\right) \\ &=\left( X+b\right) \left( X-b\right) \\ &=X^{2}-b^{2}\\ &=\left( a-4\right) ^{2}-b^{2}\\ &=a^{2}-8a-b^{2}+16\end{aligned}$
置き換えを利用した展開の練習問題
(1) $\left( x+y-1\right) \left( x+y+3\right)$
(2) $\left( x-y+4\right) \left( x-y+3\right)$
(3) $\left( a-b+5\right) \left( a-b-3\right)$
(4) $\left( x+y+2\right) ^{2}$
(5) $\left( a-b-3\right) ^{2}$
(6) $\left( x+2y-3\right) ^{2}$
(7) $\left( 3x+y-2\right) \left( 3x+y+2\right)$
(8) $\left( a-2b+2\right) \left( a+2b+2\right)$
答えを見る
$\begin{aligned}&\left( 1\right) \left( x+y-1\right) \left( x+y+3\right) \\ &=\left( X-1\right) \left( X+3\right) \\ &=X^{2}+2X-3\\ &=\left( x+y\right) ^{2}+2\left( x+y\right) -3\\ &=x^{2}+2xy+y^{2}+2x+2y-3\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\left( 2\right) \left( x-y+4\right) \left( x-y+3\right) \\ &=\left( X+4\right) \left( X+3\right) \\ &=X^{2}+7X+12\\ &=\left( x-y\right) ^{2}+7\left( x-y\right) +12\\ &=x^{2}-2xy+y^{2}+7x-7y+12\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\left( 3\right) \left( a-b+5\right) \left( a-b-3\right) \\ &=\left( X+5\right) \left( X-3\right) \\ &=X^{2}+2X-15\\ &=\left( a-b\right) ^{2}+2\left( a-b\right) -15\\ &=a^{2}-2ab+b^{2}+2a-2b-15\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\left( 4\right) \left( x+y+2\right) ^{2}\\ &=\left( X+2\right) ^{2}\\ &=X^{2}+4X+4\\ &=\left( x+y\right) ^{2}+4\left( x+y\right) +4\\ &=x^{2}+2xy+y^{2}+4x+4y+4\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\left( 5\right) \left( a-b-3\right) ^{2}\\ &=\left( X-3\right) ^{2}\\ &=X^{2}-6X+9\\ &=\left( a-b\right) ^{2}-6\left( a-b\right) +9\\ &=a^{2}-2ab+b^{2}-6a+6b+9\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\left( 6\right) \left( x+2y-3\right) ^{2}\\ &=\left( X-3\right) ^{2}\\ &=X^{2}-6X+9\\ &=\left( x+2y\right) ^{2}-6\left( x+2y\right) +9\\ &=x^{2}+4xy+4y^{2}-6x-12y+9\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\left( 7\right) \left( 3x+y-2\right) \left( 3x+y+2\right) \\ &=\left( X-2\right) \left( X+2\right) \\ &=X^{2}-4\\ &=\left( 3x+y\right) ^{2}-4\\ &=9x^{2}+6xy+y^{2}-4\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\left( 8\right) \left( a-2b+2\right) \left( a+2b+2\right) \\ &=\left( X-2b\right) \left( X+2b\right) \\ &=X^{2}-4b^{2}\\ &=\left( a+2\right) ^{2}-4b^{2}\\ &=a^{2}+4a-4b^{2}+4\end{aligned}$
