接弦定理の基本パターンを覚えよう
接弦定理の基本パターン
まずは接弦定理の基本パターンを見てみましょう。下の図のようにAで直線と円が接しています。この時にAを１つの頂点とする三角形を描くと●の２つの角度は同じになります。
接弦定理の応用パターン
接弦定理の角度は90°でも、また90°よりも大きな角度（鈍角）の場合でも成り立ちます。
角度が90度の時は、2つの角度はどちらも90°になります。また、角度が90°よりも大きな角度（鈍角）の場合は思いつきにくいので注意が必要ですね。
接弦定理の鋭角の証明
まずは基本となる角度が鋭角（90°より小さい角）の場合の証明をしてみます。
まずは接点Aを通って中心を通る直線を引き、円との交点をDとします。円周角の定理より、
$\angle ABC=\angle ADC$・・・・①
次に、三角形ADCは円の中心を通る三角形なので、∠DCA=90°。また、三角形の内角の和は180°なので、
$\begin{aligned}\angle ADC&=180^{\circ }-LOCA-\angle CAD\\ &=180^{\circ }-90^{\circ }-\angle CAD\\ &=90^{\circ }-\angle CAD・・・・②\end{aligned}$
また、Aは接点なので、
$\begin{aligned}\angle CAX&=\angle DAX-\angle EAO\\ &=90^{\circ }-\angle CAD・・・・③\end{aligned}$
②、③より
$\angle ADC=\angle CAX$・・・・④
よって①、④より
$\angle ABC=\angle CAX$
これで証明は終了ですね。
接弦定理の直角の証明
直角の場合の証明はとても簡単ですね。先ほどの鋭角の接弦定理の後半部分のみということになります。
三角形ABCは円の中心を通る三角形なので、∠BCA=90°。また、三角形の内角の和は180°なので、
$\begin{aligned}\angle ABC&=180^{\circ }-\angle OCA-\angle CAB\\ &=180^{\circ }-90^{\circ }-\angle CAB\\ &=90^{\circ }-\angle CAD・・・・①\end{aligned}$
また、Aは接点なので、
$\begin{aligned}\angle CAX&=\angle DAX-\angle EAO\\ &=90^{\circ }-\angle CAB・・・②\end{aligned}$
①、②より
$\angle ABC=\angle CAX$
これで証明は終了ですね。
接弦定理の鈍角の証明
最後に角度が鈍角（90°より大きい角）の場合の証明をしてみます。証明方法で一番簡単なのは、「接弦定理（鋭角）の証明を使って証明する方法です。
まずは、接弦定理(鋭角)の証明をして、
$\angle BAY=\angle BCA$・・・・①
を示します。後は、それぞれの角度を数式で表します。
直線の角度は180°なので、
$\begin{aligned}\angle CAX&=180^{\circ }-\angle BAY-\angle CAB・・・・②\end{aligned}$
また、三角形の内角の和は180°なので、
$\begin{aligned}\angle CBA&=180^{\circ }-\angle BCA-\angle CAB・・・・③\end{aligned}$
①、②、③より
$\angle CAX=\angle CBA$