《わかりやすい》多角形の外角の和が360°になる理由と証明。三角形も四角形も五角形も全て同じ！

外角とは

三角形と四角形の外角

まずは簡単に外角についておさらいしましょう。「外角」とは「内角」の逆で、図形の外側になる角度を表します。三角形や四角形では以下のようになりますね。

多角形(n角形)の外角

多角形でも同じで、それぞれの辺を延長させることで外角を作ることができます。

多角形の外角の和が360°になる感覚的な理由

まずは多角形の外角の和が360°になる理由を感覚的にご説明します。それは辺を全て集めると1周回るからですね。

先ほどの多面体の辺をずらして１箇所に集めると1周回ります。1周回る＝360°というわけです。

多角形の外角の和が360°になる証明

これは感覚的な説明なので、実際の証明は次のようにします。あっさりと証明できます。

あるn角形があるとする（nは3以上の整数）

n角形の外角と内角の総和は
n×180 °・・・①

また、n角形の内角の和は
(n-2)×180°・・・②

よって、①、②よりn角形の外角の和は
n×180°ー (n-2)×180°
=360°