《わかりやすい》内角の和の公式と証明。内角の和を求める問題を集めました

  • 2022年5月16日
  • 2023年11月19日
  • 数学
内角の和の公式と証明
RYOHTA
図形（多角形）の内角の和の公式とその理由について解説していきます。実はわかってしまうと当たり前なんです。最後には問題もありますので、ぜひマスターしてみてください

 

>>>外角の和についてはこちらの記事をご覧ください

目次

内角の和とは

「内角」とはある図形の内側の角度のことです。どれか１つを指すというより、全てを指すことが多いですね。

内角の和

そして「内角の和」とは、内角の角度の合計を指します。上の四角形では、4つの角度の和となり、360°になりますね

 

多角形の内角の和を求める公式

内角の和の公式

内角の和の公式は以下の通りです。

内角の和＝180×(n-2)

※「n」は、三角形なら「3」。四角形なら「4」のように、図形の辺の数です

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四角形ならnに4を入れて360°、五角形ならnに5を入れて540°になりますね

 

内角の和の公式の証明

では「なぜ2を引くのか」についてですが、

 

n角形はn-2個の三角形に分けることができる

 

からですね。以下の例を見てみると、すぐにわかると思います。四角形は2つ、五角形は3つ、六角形は4つ、七角形は５つの三角形に分けられますね。

四角形、五角形、六角形の三角形への分割

以下は、少し難しいですが、一般的な証明方法です。気になる方はご覧ください。

証明を確認する

n角形（nは3以上の整数）があるとする。
n角形の内角の和が、180°×(n-2)・・・①
となることを証明したい。
(ⅰ)n=3の時、三角形となり、内角の和は
180°= 180°×(3-2)より①は成立

(ⅱ)n=kの時、①が成立すると仮定すると（kは3以上の整数）、
k角形の内角の和は180°×(k-2)と表される。
n=k＋1の時、(k＋1)角形はｋ角形と四角形に分けることができる。

よって(ⅰ)、（ⅱ）より数学的帰納法により3以上の全ての整数nに対して①は成立。

ゆえに、n角形の内角の和は180°×(n-2)で表される。

内角の和の求め方

公式を使ってもいいですが、まずは実際に図を書いて求めてみましょう。

四角形の内角の和

図のように２つの三角形に分けて考えて 180×2=360°になります。

四角形の三角形への分割

五角形の内角の和

図のようにつの三角形に分けて考えて 180×3=540°になります。

五角形の三角形への分割

六角形の内角の和

図のように２つの三角形に分けて考えて 180×4=720°になります

六角形の三角形への分割

内角の和から何角形かを求める問題

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続いては逆に内角の和から何角形かを求める練習もしてみましょう。こちらは公式を使って計算してみましょう。

 

内角の和が1260°

答えをみる

$\begin{aligned}&1260\div 180+2\\ &=7+2=9\end{aligned}$

よって九角形になりますね。

内角の和が1440°

答えをみる

$\begin{aligned}&1440\div 180+2\\ &=8+2=10\end{aligned}$

よって十角形になりますね。

内角の和が1800°

答えをみる

$\begin{aligned}&1800\div 180+2\\ &=10+2=12\end{aligned}$

よって12角形になりますね。

内角の和から外角を求める問題

逆に正多角形限定となりますが、内角の和から外角を求める問題もよく出題されます。

例：正八角形の外角を求めよ

答えをみる

正八角形の内角の和を求め、そこから１つの角度を求めます。それを180°から引くと外角が求められますね。

\begin{aligned}&180°\times \left( 8-2\right) =1080°\\ &1080°\div 8=135°\\ &180°-135°=45°\end{aligned}

答えは45°になりますね。

多角形の内角の和一覧

最後に多角形の内角の和を一覧にしてまとめます。自分でもすぐに計算ができるようにしておきましょう。

五角形：内角の和 540°
六角形：内角の和 720°
七角形：内角の和 900°
八角形：内角の和 1080°
九角形：内角の和 1260°
十角形：内角の和 1440°
十一角形：内角の和 1620°
十二角形：内角の和 1800°
十三角形：内角の和 1980°
十四角形：内角の和 2160°
十五角形：内角の和 2340°
十六角形：内角の和 2520°
十七角形：内角の和 2700°
十八角形：内角の和 2880°

 

>>>外角の和についてはこちら
>>>三角形の内角の和が180°である証明はこちら