今回はこのような質問に答えていきます。
文字 $a$ を含む二次関数の場合分けの問題の解き方
二次関数の場合分けの問題についてですが、コツがわかればそれほど難しくありません。
5つの場合分け
場合分けは、大きく分けて2通りで、合計5つの場合しかありません。
●軸が枠の左、中、右にある時（3通り）
解き方のコツ
最大値
まずは最大値からです。まずは次のように式を変形して、二次関数の軸を求めます。
$\begin{aligned}y&=x^{2}-2ax+a\\ &=\left( x-a\right) ^{2}-a^{2}+a\end{aligned}$
これから軸は、$x=a$ であることがわかります。
場合分けは次の2通りになりますね。軸（$x=a$）が範囲の中央（$x=1$）より大きいか小さいかで場合分けをします。
(ⅰ)$a≦1$の時
最大値は $x=0$ の時、よって最大値を $M(x)$ とすると、
$M(0)=0^{2}-2a×0+a=a$
になります
(ⅱ)$a>1$の時
最大値は $x=2$ の時、よって、
$M(2)=2^{2}-2a×2+a=-3a+4$
になります
まとめると
$a≦1$の時、$x=0$ で最大値 $a $
$a>1$の時、$x=2$ で最大値 $-3a+4$
最小値
最小値を求める場合、場合分けは次の3通りになります。軸（$x=a$）が範囲の左外、範囲内、右外にある場合で場合分けをします。
(ⅲ)$a<0$の時
最小値は $x=2$ の時、よって最小値を $m(x)$ とすると、
$m(2)=2^{2}-2a×2+a=-3a+4$
になります
(ⅳ)$0≦a≦2$の時
最小値は $x=a$ の時、よって、
$m(a)=a^{2}-2a×a+a=-a^2+a$
になります
(ⅴ)$a>2$の時
最小値は $x=0$ の時、よって、
$m(0)=0^{2}-2a×0+a=a$
になります
まとめると
$a<0$の時、 $x=2$ で最小値 $-3a+4$
$0≦a≦2$の時、$x=a$ で最小値 $-a^2+a$
$a>2$の時、$x=0$ で最小値 $a$
文字 $a$ を含む二次関数の場合分け 練習問題
下に凸なグラフ
最大値
まずは、二次関数の軸を求めます。
$\begin{aligned}y&=x^{2}-4ax+8\\ &=\left( x-2a\right) ^{2}-4a^{2}+8\end{aligned}$
これから軸は、$x=2a$ であることがわかります。
(ⅰ)$2a≦2$の時、つまり$a≦1$の時
最大値は $x=0$ の時、よって最大値を $M(x)$ とすると、
$M(0)=0^{2}-4a×0+8= 8$
になります
(ⅱ)$2a>2$の時、つまり$a>1$の時
最大値は $x=4$ の時、よって、
$M(4)=4^{2}-4a×4+8=-16a+24$
になります
まとめると
$a≦1$の時、$x=0$ で最大値 $8$
$a>1$の時、$x=4$ で最大値 $-16a+24$
最小値
次の3通りに場合分けをします。
(ⅲ)$2a<0$の時、つまり$a<0$の時
最小値は $x=4$ の時、よって最小値を $m(x)$ とすると、
$m(4)=4^{2}-4a×4+8=-16a+24$
になります
(ⅳ)$0≦2a≦4$の時、つまり$0≦a≦2$の時
最小値は $x=2a$ の時、よって、
$m(a)=(2a)^{2}-4a×a+8=-4a^2+8$
になります
(ⅴ)$2a>4$の時、つまり$a>2$の時
最小値は $x=0$ の時、よって、
$m(0)=0^{2}-4a×0+8= 8$
になります
まとめると
$a<0$の時、 $x=4$ で最小値 $-16a+24$
$0≦a≦2$の時、$x=a$ で最小値 $-4a^2+8$
$a>2$の時、$x=0$ で最小値 $8$
上に凸なグラフ
最大値
まずは、二次関数の軸を求めます。
$\begin{aligned}y&=-x^{2}+2ax+4a\\ &=-\left( x-a\right) ^{2}+a^{2}+4a\end{aligned}$
これから軸は、$x=a$ であることがわかります。次の3通りに場合分けをします。
(ⅰ)$a<-2$の時
最大値は $x=-2$ の時、よって最大値を $M(x)$ とすると、
$M(-2)=-(-2)^{2}+2a×(-2)+4a=-4$
になります
(ⅱ)$-2≦a≦0$の時
最大値は $x=a$ の時、よって、
$M(a)=-a^{2}+2a×a+4a=a^2+4a$
になります
(ⅲ)$a>0$の時
最大値は $x=0$ の時、よって、
$M(0)=-0^{2}+2a×0+4a= 4a$
になります
まとめると
$a<-2$の時、$x=-2$ で最大値 $-4$
$-2≦a≦0$の時、$x=a$ で最大値 $a^2+4a$
$a>0$の時、$x=0$ で最大値 $4a$
最小値
次の2通りに場合分けをします。
(ⅳ)$a≦-1$の時
最小値は $x=0$ の時、よって最小値を $m(x)$ とすると、
$m(0)=-0^{2}+2a×0+4a= 4a$
になります
(ⅴ)$a>-1$の時
最小値は $x=-2$ の時、よって、
$m(-2)=-(-2)^{2}+2a×(-2)+4a=-4$
になります
最小値をまとめると
$a≦-1$の時、$x=0$ で最小値 $4a$
$a>-1$の時、$x=-2$ で最小値 $-4$